f(x)=3√(x^2 (1-x^2))罗尔定理满足区间为什么是(0,1)而不是(-1,1)

2025-06-22 16:01:50
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回答1:

这个函数在
[0,1]
上连续,在(0,1)上可导,因此满足罗尔定理。
如果把区间扩大到
[-1,1]
就不满足定理条件了。
这是由于,虽然函数在
[-1,1]
上连续,但函数在
x
=
0
不可导。
事实上,左导数
=
lim(x→0-)
3√[x^2(1-x^2)]
/
x
=
lim(x→0-)
-3√(1-x^2)
=
-3

右导数
=
lim(x→0+)
3√(1-x^2)
=
3