62问答网 > 已知点P（x0，y0）在直线x+y-2=0上，若圆O：x2+y2=1（O为坐标原点）上存在点Q使得∠OPQ=30°，则x0的取值

已知点P（x0，y0）在直线x+y-2=0上，若圆O：x2+y2=1（O为坐标原点）上存在点Q使得∠OPQ=30°，则x0的取值

2025-06-23 05:29:07

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回答1：

过P作⊙C切线交⊙C于R，
根据圆的切线性质，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反过来，如果∠OPR≥30°，
则⊙C上存在一点点Q使得∠OPQ=30°．
∴若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，
则∠OPR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|OP|＞2时不成立，
∴|OP|≤2．
又∵|OP|²=x₀²+y₀2=x₀²+（x₀-2）²=2x₀²-4x₀+2
∴2x₀²-4x₀+2≤2，
解得，0≤x₀²≤2．
∴x₀的取值范围是[0，2]
故答案为：[0，2]．