62问答网 > 已知a向量,b向量是平面内两个相互垂直的单位向量,若c向量满足(a-c)(b-c)=0 则|c|的取值范围是多少呢?

已知a向量,b向量是平面内两个相互垂直的单位向量,若c向量满足(a-c)(b-c)=0 则|c|的取值范围是多少呢?

2025-06-22 01:40:07

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回答1：

由题意得：a·b=0
(a-c)(b-c)=0
a·b-a·c-b·c+c^2=0
c^2-ac-bc=0
|c|^2-|a||c|cosA-|b||c|cos(π/2-A)=0
|c|^2-|a||c|cosA-|b||c|sinA=0
|c|(|c|-|a|cosA-|b|sinA)=0
|c|=0(舍)，
|c|=|a|cosA+|b|sinA
=cosA+sinA
=√2sin(A+π/4)
因为0π/4√2/2所以1<√2sin(A+π/4) ≤√2
即|c|的取值范围是(1, √2].