62问答网 > 已知函数f（x）=log a （a x -1）（a＞0且a≠1）．求证：（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；（2）函数f

已知函数f（x）=log a （a x -1）（a＞0且a≠1）．求证：（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；（2）函数f

2025-06-21 19:22:24

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回答1：

证明：（1）由a^x -1＞0得：a^x ＞1，
∴当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
∴函数f（x）的图象在y轴的一侧；

（2）设A（x₁ ，y₁ ）、B（x₂ ，y₂ ）是函数f（x）图象上任意两点，且x₁ ＜x₂ ，
则直线AB的斜率 k=

y 1 - y 2

x 1 - x 2

，
y 1 - y 2 =lo g a ( a x 1 -1)-lo g a ( a x 2 -1)=lo g a

a x 1 -1

a x 2 -1

，
当a＞1时，由（1）知0＜x₁ ＜x₂ ，∴ 1＜ a x 1 ＜ a x 2 ，
∴ 0＜ a x 1 -1＜ a x 2 -1 ，
∴ 0＜

a x 1 -1

a x 2 -1

＜1 ，∴y₁ -y₂ ＜0，又x₁ -x₂ ＜0，∴k＞0；
当0＜a＜1时，由（1）知x₁ ＜x₂ ＜0，∴ a x 1 ＞ a x 2 ＞1 ，
∴ a x 1 -1＞ a x 2 -1＞0 ，
∴

a x 1 -1

a x 2 -1

＞1 ，∴y₁ -y₂ ＜0，又x₁ -x₂ ＜0，∴k＞0．
∴函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．