已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）

2025-06-22 09:00:24

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回答1：

（I）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f'（x）=3x²+2ax+b
由题知

f′(1)＝3

3×1+1＝f(1)

f′(?2)＝0

2a+b+3＝3

4＝1+a+b+c

12?4a+b＝0

a＝2

b＝?4

c＝5

所以f（x）=x³+2x²-4x+5
（II）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），则x、f'（x）、f（x）的关系如下表．

-3

（-3，-2）

-2

(?2，

)

(

， 1)

f'（x）

f（x）

↑

极大

↓

极小

↑

∵f（x）_极大=f（-2）=13，f（-3）=8，f（1）=4
∴f（x）在[-3，1]的最大值为13
（III）由题意知，f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，
由（I）知即f'（x）=3x²+-bx+b=3x²+b≤0在[-1，0]上恒成立，
利用二次函数的性质，有