一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球；求（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥

2025-06-21 19:38:03

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回答1：

（1）如图所示．作轴截面，则等腰三角形CAB内接
于圆O，而圆O₁ 内切于△CAB，设圆O的半径为R，
由题意，得

π R 3 =972π ，
∴R³ =729，R=9∴CE=18；（3分）
已知CD=16，∴ED=2，
连接AE，∵CE是直径，∴CA⊥AE，CA² =CD?CE=18×16=288，
∴ CA=12

，（5分）
∵AB⊥CD，∴AD² =CD?DE=16×2=32，∴ AD=4

，（7分）
∴S_侧 = πrl=π×4

×12

=96π ；（8分）

（2）设内切圆O₁ 的半径为r
∵△ABC的周长为 2(12

)=32

，
∴

r×32

×8

×16 ，∴r=4；（10分）
∴圆锥的内切球O₁ 的体积V_球 =

π r 3 =

256

π ．（12分）