【高中数学求值域】求f(x)=√(x^2+6x+9)＋√(-x^2-2x+1)值域。有解答过程~~~~

f(x)=│x+3│+√[2-(x+1)^2]

设y=√[2-(x+1)^2]即(x+1)^2+y^2=2   （y≥0，-1-√2≤x≤-1+√2）

则f(x)就是点(x,y)到直线x= -3的距离与到x轴的距离之和

如图所示，显然点（0，1）处取最大值4，点（-1-√2，0）处取最小值2-√2

故f(x)的值域为[2-√2，4]

函数定义域是－x^2－2x+1>=0，即－根号(2)－1<=x<=根号(2)－1。在此定义域内总有x+3>=0，因此函数表达式化简为x+3+根号(-x^2-2x+1)=x+1+根号(2-(x+1)^2)+2，令a＝x+1，b＝根号(2-(x+1)^2)，则根号(2)>=a>=－根号(2)，b>=0，且a^2+b^2=2，(a b)位于坐标平面中以原点为圆心，以根号(2)为半径的上半圆周上，a+b的最大值是当a＝b＝1时达到，最小值当a＝－根号(2)，b＝0时达到，因此原函数最大值是4，当x＝0时达到，最小值是2－根号(2)，x＝－根号(2)－1时达到。

利用分段取值带入，即根据函数的定义域和增减性来做
也可以用作图法来做

先求出定义域为[-1-sqrt（2），-1+sqrt(2)],然后上下同乘以sqrt[(x^2+6x+9)]-sqrt[(-x^2-2x+1)],发现分子分母都是x的增函数，但分子式x的二次，分母是x的一次，所以整个函数是增函数，如此便可以得出此函数的值域啦！