62问答网 > 设函数f（u）连续，区域D={(x,y)|x^2+y^2<=2y},则∫∫f（xy）dxdy化成极坐标的形式是怎么样？

设函数f（u）连续，区域D={(x,y)|x^2+y^2<=2y},则∫∫f（xy）dxdy化成极坐标的形式是怎么样？

2025-06-22 06:02:09

推荐回答（2个）

回答1：

利用极坐标变换
x=rcosθ
y=rsinθ
此时xy=r²sinθcosθ
则x²+y²≤2y的极坐标表示为r²≤2rsinθ，即r≤2sinθ
D的图像画出来是个圆心在(0,1)，半径为2的圆，位于x轴上面，与x轴相切
所以D的极坐标表示为D={(r,θ)|0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ}
dxdy=rdrdθ
因此答案是∫（0，π）dθ∫（0，2sinθ）f(r²sinθcosθ)rdr
当然，如果你采用的是 x=rcosθ y=1+rsinθ变换，它不是极坐标变化，只是一种变量替换而已！
如果题目要求用极坐标变换做，你的做法就是错的，如果没有要求，那么你的方法也行，但是变量的变化范围变了而已，即积分的上下限不一样了！
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

回答2：

楼上高手